范畴的基本性质

Definition [范畴]. 一个范畴 $\mathcal C$ 由其对象类 $\mathsf{Ob}(\mathcal C)$ 和任意两个对象 $a,b\in\mathsf{Ob}(\mathcal C)$ 间的态射集合 $\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(a,b)$ 构成，且：对任意 $a,b,c\in\mathsf{Ob}(\mathcal C)$，以及态射 $f\in\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(a,b)$ 和 $g\in\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(b,c)$，它们之间有一个复合 $g\circ f\in\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(a,c)$. 复合满足下面两个性质：

  1. 对任意 $a\in\mathsf{Ob}(\mathcal C)$，存在态射 $\mathbf 1_a$，使得对任意 $b\in\mathsf{Ob}(\mathcal C)$，$f\in\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(a,b)$ 和 $g\in\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(b,a)$ 有 $\mathbf 1_a\circ g=g$ 且 $f\circ\mathbf 1_a=f$，这个 $\mathbf 1_a$ 被称为恒同态射.
  2. 对任意 $a,b,c,d\in\mathsf{Ob}(\mathcal C)$ 和三个态射 $f\in\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(a,b)$，$g\in\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(b,c)$，$h\in\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(c,d)$，有结合律 $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$.

Remark.

  • 对象是类而不一定是集合，而两个对象的态射集一定要是集合，对象类是集合的范畴叫做小范畴.
  • 一个对象的恒同态射一定是唯一的，否则如果有两个满足条件的恒同态射 $\mathbf 1_a,\mathbf 1_a'$，则 $\mathbf 1_a=\mathbf 1_a\circ\mathbf 1_a'=\mathbf 1_a'$.
  • $a\in\mathsf{Ob}(\mathcal C)$ 可以简单记为 $a\in\mathcal C$；$\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(a,b)$ 也可以记为 $\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(a,b)$ 或者 $\mathcal C(a,b)$；$f\in\mathsf{Hom}_{\mathcal C}(a,b)$ 可以记为 $f:a\to b$ 或者 $a\xrightarrow{f}b$.

Examples [一些例子]. 我们在生活中遇到的很多东西都构成范畴.

  • 定义集合范畴 $\mathsf{Set}$ 的对象类为所有集合，两个对象 $a,b$ 之间的所有态射 $\mathsf{Mor}_{\mathsf{Set}}(a,b)$ 即为所有 $a$ 到 $b$ 的映射，态射的复合就是映射的复合，则这构成一个范畴.
  • 定义域 $k$ 上的线性空间范畴 $\mathsf{Vect}_k$ 的对象类为所有 $k$ 上的线性空间，两个线性空间 $V$ 和 $W$ 之间的所有态射 $\mathsf{Vect}_k(V,W)$ 为所有 $V$ 到 $W$ 的线性映射，则这构成一个范畴.
  • 定义群范畴 $\mathsf{Grp}$ 的对象类为所有群，两个群之间的态射为群同态，则这构成一个范畴.
  • 定义 Abel 群范畴 $\mathsf{Ab}$ 的对象类为所有 Abel 群，两个 Abel 群之间的态射为群同态，则这构成一个范畴.
  • 定义含幺交换环范畴 $\mathsf{Ring}$ 的对象类为所有含幺交换环（这里包括零环），态射为环同态，则这构成一个范畴. 交换环范畴为 $\mathsf{CRing}$，一般无幺环范畴为 $\mathsf{Rng}$.
  • 定义拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 的对象类为所有拓扑空间，态射为连续映射，则这构成一个范畴.
  • 对于偏序集 $(P,\leq)$，定义一个范畴的对象类为 $P$，两个对象 $x,y\in P$ 间的态射是单点集 $\{(x,y)\}$，否则为 $\varnothing$，态射的复合为 $(y,z)\circ(x,y)=(x,z)$，则其构成一个范畴，它也是一个小范畴.

我们可以将集合的一些东西抽象，以定义态射的性质.

Definition [单态射、满态射、双态射和同构]. $\mathcal C$ 是范畴，对象 $a,b\in\mathcal C$，如果我们有态射 $f:a\to b$，则：

  • 如果对任意 $c\in\mathcal C$ 和 $g_1,g_2:c\to a$，$f\circ g_1=f\circ g_2$ 可以推出 $g_1=g_2$，则称 $f$ 是单态射；
  • 如果对任意 $c\in\mathcal C$ 和 $g_1,g_2:b\to c$，$g_1\circ f=g_2\circ f$ 可以推出 $g_1=g_2$，则称 $f$ 是满态射；
  • 如果 $f$ 又单又满，则称其为双态射；
  • 如果存在 $g:b\to a$ 使得 $g\circ f=\mathbf 1_a$ 且 $f\circ g=\mathbf 1_b$，则称 $f$ 为同构.

可以验证在集合范畴上，单态射就是单射，满态射就是满射，如果你承认选择公理则双态射和同构等价. 在群、Abel 群、含幺交换环、线性空间范畴中，单态射和集合上的单射是等价的，不过在含幺交换环范畴上，满态射不一定是集合上的满射，反例如下：

考虑显而易见的环嵌入 $f:\mathbb Z\to\mathbb Q$，则对任意环同态 $g_1,g_2:\mathbb Q\to R$，如果 $g_1\circ f=g_2\circ f$，则对任意 $0\ne q\in\mathbb Q$ 都有 $g_1(q)g_1(1/q)=g_2(q)g_2(1/q)=1$，两式相减得到 $(g_1(q)-g_2(q))g_1(1/q)=0$，乘以 $g_1(q)$ 就有 $g_1(q)-g_2(q)=0$，所以 $g_1=g_2$. 从而 $f$ 是一个满射. 更一般地，对于一个整环 $R$，它到自己的分式域的嵌入也是环范畴中的满态射.

范畴中的同构一定是双态射，不过反过来就不一定. 比如上面举的例子，它既是单态射又是满态射，但不是同构.

函子的定义

Definition [函子]. 如果 $\mathcal C$ 和 $\mathcal D$ 是两个范畴，它们之间的（协变）函子 $F$ 由一个 $\mathsf{Ob}(\mathcal C)\to\mathsf{Ob}(\mathcal D)$ 的映射（$a\in\mathcal C$ 的像记作 $F(a)$），和任意两个对象 $a,b\in\mathcal C$，一个从 $\mathsf{Mor}_{\mathcal C}(a,b)$ 到 $\mathsf{Mor}_{\mathcal D}(F(a),F(b))$ 的映射（$f\in\mathcal C(a,b)$ 的像记作 $F(f)$）构成，满足以下两个条件：

  1. 对任意 $a\in\mathcal C$，都有 $F(\mathbf 1_a)=\mathbf 1_{F(a)}$；
  2. 对任意 $a,b,c\in\mathcal C$ 以及两个态射 $f\in\mathcal C(a,b)$ 和 $g\in\mathcal C(b,c)$ 都有 $F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)$.

逆变函子的定义为协变函子将 $\mathsf{Mor}_{\mathcal D}(F(a),F(b))$ 改为 $\mathsf{Mor}_{\mathcal D}(F(b),F(a))$，以及 $F(g)\circ F(f)=F(g\circ f)$ 改为 $F(f)\circ F(g)=F(g\circ f)$. 函子通常记作 $F:\mathcal C\to\mathcal D$.

Examples [一些例子].

  • 遗忘函子：把某些条件或者结构忘掉，比如可以定义一个 $\mathsf{Ab}\to\mathsf{Grp}$ 的函子，就是把交换性忘记；甚至可以定义 $\mathsf{Vect}_k\to\mathsf{Set}$ 的遗忘函子，直接把线性空间的结构全部忘记，只看作一个集合.
  • 定义一个 $\mathsf{Set}$ 到 $\mathsf{Vect}_k$ 的函子 $F$ 在对象上的映射为 $X\mapsto k^X$（所有 $X\to k$ 的映射），在态射上的映射为 $F(f)(\sum_i k_ix_i)=\sum_i k_if(x_i)$，对任意的 $f\in\mathsf{Set}(X,Y)$ 和 $\sum_i k_ix_i\in F(X)$. 不难验证这是一个函子.

Definition [反范畴]. 对任意范畴 $\mathcal C$，定义 $\mathcal C$ 的反范畴 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$，它的对象类就是 $\mathcal C$ 的对象类，但是 $\mathcal C^{\mathrm{op}}(a,b)=\mathcal C(b,a)$，且对 $f\in\mathcal C^{\mathrm{op}}(a,b)$ 和 $g\in\mathcal C^{\mathrm{op}}(b,c)$，其在 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 中的复合 $g\circ f\in\mathcal C^{\mathrm{op}}(a,c)$ 定义为 $\mathcal C$ 中的反向复合 $f\circ g\in\mathcal C(c,a)$.

Proposition. $(\mathcal C^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=\mathcal C$，且 $\mathcal C\to\mathcal D$ 的反变函子等价于 $\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal D$ 的协变函子.

Definition [推前映射与拉回映射]. 给定范畴 $\mathcal C$ 中的态射 $f\in\mathcal C(a,b)$，可以对任意 $c\in\mathcal C$ 定义一个映射 $f_*:\mathcal C(c,a)\to\mathcal C(c,b)$ 为 $g\mapsto f\circ g$，这称为 $f$ 诱导的推前映射；也可以定义映射 $f^*:\mathcal C(b,c)\to\mathcal C(a,c)$ 为 $g\mapsto g\circ f$，这称为 $f$ 诱导的拉回映射.

Definition [一种重要的函子]. 对于范畴 $\mathcal C$ 和其中的对象 $x\in\mathcal C$，定义一个协变函子 $h^x:\mathcal C\to\mathsf{Set}$，满足 $h^x(a)=\mathcal C(x,a)$，对任意 $f\in\mathcal C(a,b)$，令 $h^x(f)=f_*\in\mathsf{Set}(\mathcal C(x,a),\mathcal C(x,b))$；同时定义反变函子 $h_x:\mathcal C\to\mathsf{Set}$，满足 $h_x(a)=\mathcal C(a,x)$，对任意 $f\in\mathcal C(a,b)$，令 $h_x(f)=f^*\in\mathsf{Set}(\mathcal C(b,x),\mathcal C(a,x))$. 我们通常直观地记 $h^x=\mathcal C(x,-)$ 和 $h_x=\mathcal C(-,x)$.

Exercise. 验证 $\mathcal C(x,-)$ 和 $\mathcal C(-,x)$ 确实分别是协变函子和反变函子.

自然变换

Definition [自然变换]. 对于协变函子 $F,G:\mathcal C\to\mathcal D$，一个 $F$ 到 $G$ 的自然变换 $\alpha$ 为一些 $\mathcal D$ 中态射 $\alpha_a:F(a)\to G(a)$，其中 $a\in\mathcal C$ 是任意对象，满足：对任意 $x,y\in\mathcal C$ 和 $f\in\mathcal C(x,y)$，都有 $\alpha_y\circ F(f)=G(f)\circ\alpha_x$，也就是有交换图 $$ \begin{CD} F(x) @>F(f)>> F(y) \\ @V\alpha_xVV @VV\alpha_yV \\ G(x) @>G(f)>> G(y) \end{CD} $$ 一个 $F$ 到 $G$ 的自然变换 $\alpha$ 可以记作 $\alpha:F\Rightarrow G$.

Examples.

  • 考虑交换化函子 $\mathrm{ab}:\mathsf{Grp}\to\mathsf{Grp}$ 为 $\mathrm{ab}(G)=G/G'$，而对于群同态 $\varphi:G\to H$ 我们注意到 $\varphi(G')\subseteq H'$，从而可以良好地定义一个 Abel 群之间的同态 $\mathrm{ab}(\varphi):\mathrm{ab}(G)\to\mathrm{ab}(H)$ 为 $\mathrm{ab}(\varphi)(gG')=\varphi(g)H'$. 对 $G\in\mathsf{Grp}$，令 $\pi_G$ 为 $G$ 到 $G/G'$ 的投影变换，则对任意 $G,H\in\mathsf{Grp}$ 和同态 $f:G\to H$ 有交换图： $$ \begin{CD} G @>\varphi>> H \\ @V\pi_G VV @VV\pi_HV \\ \mathrm{ab}(G) @>\mathrm{ab}(\varphi)>> \mathrm{ab}(H) \end{CD} $$ 所以 $\pi$ 是恒等函子 $\mathrm{id}$ 到交换化函子 $\mathrm{ab}$ 的自然变换.

  • 考虑双对偶函子 $-^{\vee\vee}:\mathsf{Vect}_k\to\mathsf{Vect}_k$ 为 $V\mapsto V^{\vee\vee}$ 和 $f\mapsto f^{\vee\vee}$，其中 $-^\vee$ 是线性空间或者线性变换的对偶. 并对于 $V\in\mathsf{Vect}_k$，定义 $\Lambda_V:V\to V^{\vee\vee}$ 为 $\Lambda_V(v)(f)=f(v)$，对于任意的 $v\in V$ 和 $f\in V^\vee$. 任取线性空间 $V,W\in\mathsf{Vect}_k$ 和线性变换 $f:V\to W$，可以验证有交换图： $$ \begin{CD} V @>f>> W \\ @V\Lambda_V VV @VV\Lambda_WV \\ V^{\vee\vee} @>f^{\vee\vee}>> W^{\vee\vee} \end{CD} $$ 从而 $\Lambda$ 是一个从恒等函子 $\mathrm{id}$ 到双对偶函子 $-^{\vee\vee}$ 的自然变换.

Definition [纵合成]. 对于范畴 $\mathcal C$ 到 $\mathcal D$ 的三个函子 $F,G,H$，定义两个自然变换 $\alpha:F\Rightarrow G$ 和 $\beta:G\Rightarrow H$ 的纵合成 $\beta\circ\alpha:F\Rightarrow H$ 为 $(\beta\circ\alpha)_x=\beta_x\circ\alpha_x$

从交换图： $$ \begin{CD} F(x) @>F(f)>> F(y) \\ @V\alpha_xVV @VV\alpha_yV \\ G(x) @>G(f)>> G(y) \\ @V\beta_xVV @VV\beta_yV \\ H(x) @>H(f)>> H(y) \end{CD} $$ 可以看出 $\beta\circ\alpha$ 是自然变换，因为左边一列两个态射的合成是 $(\beta\circ\alpha)_x$，右边一列两个态射的合成是 $(\beta\circ\alpha)_y$.

Definition [横合成]. 对于范畴 $\mathcal C,\mathcal D$ 和 $\mathcal E$，以及函子 $F_1,F_2:\mathcal C\to\mathcal D$ 和 $G_1,G_2:\mathcal D\to\mathcal E$，如果有自然变换 $\alpha:F_1\Rightarrow F_2$ 和 $\beta:G_1\Rightarrow G_2$，定义它们的横合成 $\beta\cdot\alpha:G_1\circ F_1\Rightarrow G_2\circ F_2$ 为 $(\beta\cdot\alpha)_x=G_2(\alpha_x)\circ\beta_{F_1(x)}=\beta_{F_2(x)}\circ G_1(\alpha_x)$.

最后一个等号是因为 $\beta$ 是 $G_1\Rightarrow G_2$ 的自然变换，从而取态射 $F_1(x)\xrightarrow{\alpha_x}F_2(x)$，就有交换图： $$ \begin{CD} G_1(F_1(x)) @>G_1(\alpha_x)>> G_1(F_2(x)) \\ @V\beta_{F_1(x)}VV @VV\beta_{F_2(x)}V \\ G_2(F_1(x)) @>G_2(\alpha_x)>> G_2(F_2(x)) \end{CD} $$ 下面我们来证明 $\beta\cdot\alpha$ 是自然变换. 对任意 $f:x\to y$，我们有交换图： $$ \begin{CD} G_1(F_1(x)) @>G_1(\alpha_x)>> G_1(F_2(x)) \\ @VG_1(F_1(f))VV @VVG_1(F_2(f))V \\ G_1(F_1(y)) @>G_1(\alpha_y)>> G_1(F_2(y)) \end{CD} $$ 这是将自然变换 $\alpha:F_1\Rightarrow F_2$ 对应 $x\xrightarrow{f}y$ 的交换图同时作用 $G_1$ 得到的，还有： $$ \begin{CD} G_1(F_2(x)) @>\beta_{F_2(x)}>> G_2(F_2(x)) \\ @VG_1(F_2(f))VV @VVG_2(F_2(f))V \\ G_1(F_2(y)) @>\beta_{F_2(y)}>> G_2(F_2(y)) \end{CD} $$ 这是自然变换 $\beta:G_1\Rightarrow G_2$ 对应 $F_2(x)\xrightarrow{F_2(f)}F_2(y)$ 的交换图. 将这两个图拼在一起，就可以看出 $(\beta\cdot\alpha)_x=\beta_{F_2(x)}\circ G_1(\alpha_x)$ 的确是一个自然变换.

对于自然变换的纵合成与横合成实际上有结合律，即 $(\gamma\circ\beta)\circ\alpha=\gamma\circ(\beta\circ\alpha)$ 和 $(\gamma\cdot\beta)\cdot\alpha=\gamma\cdot(\beta\cdot\alpha)$，其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 的定义是自明的.

Remark. 对两个范畴 $\mathcal C$ 和 $\mathcal D$ 定义函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)$，对象为所有函子，函子之间的态射为自然变换，复合为纵合成，则由上面的讨论可以轻松得知这构成一个范畴.

除此以外，还有一个联系纵合成和横合成的恒等式：

Proposition [一个恒等式]. 如果有范畴 $\mathcal C,\mathcal D$ 和 $\mathcal E$，以及函子 $F_1,F_2,F_3:\mathcal C\to\mathcal D$ 和 $G_1,G_2,G_3:\mathcal D\to\mathcal E$，则对自然变换 $\alpha_1:F_1\Rightarrow F_2$，$\alpha_2:F_2\Rightarrow F_3$，$\beta_1:G_1\Rightarrow G_2$ 和 $\beta_2:G_2\Rightarrow G_3$，有 $(\beta_2\circ\beta_1)\cdot(\alpha_2\circ\alpha_1)=(\beta_1\cdot\alpha_1)\circ(\beta_2\cdot\alpha_2)$.

Proof. 验证即可. $\Box$

Defintion [自然同构]. 如果函子 $F,G\in\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal D)$ 间的自然变换 $\alpha$ 满足对任意 $x$ 都有 $\alpha_x$ 是 $\mathcal D$ 中的同构，则称 $\alpha$ 是 $F$ 到 $G$ 的自然同构.

Example. 在上一个双对偶函子的例子中，改变范畴 $\mathsf{Vect}_k$ 为所有有限维线性空间的范畴 $\mathsf{FDVect}_k$，则 $\Lambda$ 成为自然同构，因为对无限维线性空间 $V$，$\Lambda_V$ 并不是满同态.

始对象、终对象和零对象

Definition [始对象、终对象和零对象]. 对于范畴 $\mathcal C$，若存在对象 $x\in\mathcal C$ 满足：

  • 对任意 $a\in\mathcal C$，有且仅有一个态射 $x\to a$，则称 $x$ 是 $\mathcal C$ 的始对象；
  • 对任意 $a\in\mathcal C$，有且仅有一个态射 $a\to x$，则称 $x$ 是 $\mathcal C$ 的终对象；
  • 如果 $x$ 既是始对象又是终对象，则称 $x$ 为零对象.

注意上面的定义并没有保证存在性，不过如果始对象、终对象或零对象存在则其必定在同构意义下唯一（留作习题）.

下面给出一些范畴的始对象和终对象：

范畴 始对象 终对象
$\mathsf{Set}$ 和 $\mathsf{Top}$ 空集或空空间 $\varnothing$ 单点集或单点空间 $*$
$\mathsf{Grp}$ 和 $\mathsf{Ab}$ 平凡群 $1$ 或 $0$ 平凡群 $1$ 或 $0$
$\mathsf{Vect}_k$ 零空间 $0$ 零空间 $0$
偏序集 $(P,\leq)$ 诱导的范畴 $P$ 中最大元（如果存在） $P$ 中最小元（如果存在）
$\mathsf{Ring}$ $\mathbb Z$（想想为什么） 零环 $0$

所以可以看到，前三行给出的范畴存在零对象，而环范畴不存在.

极限和余极限

如果我们有一个范畴 $\mathcal C$，和其中的一些对象 $\{x_i\}_{i\in I}$ 以及态射 $\{f_{ij}:x_i\to x_j\}_{(i,j)\in J\subseteq I\times I}$ 构成的交换图，我们定义：

Definition [极限和余极限].

  • $x\in\mathcal C$ 和一族态射 $\{p_i:x\to x_i\}_{i\in I}$ 被称为这个图表的极限，如果 $f_{ij}\circ p_i=p_j$ 对任意 $(i,j)\in J$ 成立，且对任意满足该条件的另一个对象 $x'$ 和一族态射 $\{p_i':x'\to x_i\}_{i\in I}$，都存在态射 $p:x'\to x$ 使得 $p_i'=p_i\circ p$ 对任意 $i\in I$ 成立；
  • $x\in\mathcal C$ 和一族态射 $\{q_i:x_i\to x\}_{i\in I}$ 被称为这个图表的极限，如果 $q_j\circ f_{ij}=q_i$ 对任意 $(i,j)\in J$ 成立，且对任意满足该条件的另一个对象 $x'$ 和一族态射 $\{q_i':x_i\to x'\}_{i\in I}$，都存在态射 $q:x\to x'$ 使得 $q_i'=q\circ q_i$ 对任意 $i\in I$ 成立.

极限和余极限都不一定存在，但存在的话就必定在同构意义下唯一.

Example.

  • 在偏序集 $(\mathbb R,\leq)$ 生成的范畴中，对于一些对象 $S=\{x_i\}_{i\in I}\subseteq\mathbb R$，如果它们之间没有态射，则这个图表的极限是下确界 $\inf S$，余极限是上确界 $\sup S$.

  • 在线性空间范畴 $\mathsf{Vect}_k$ 中，考虑一些线性空间 $\{V_i\}_{i\in I}$，如果它们之间没有态射，则其极限为所有 $V_i$ 的直积 $\prod_{i\in I}V_i$，余极限为所有 $V_i$ 的直和 $\bigoplus_{i\in I}V_i$.（线性代数习题！）

Remark. 直积中的元素为 $(v_i)_{i\in I}$，其中 $v_i\in V_i$，定义加法 $(v_i)+(w_i)=(v_i+w_i)$ 和数乘 $k(v_i)=(kv_i)$. 直和与直积的不同之处在于 $(v_i)_{i\in I}$ 只能有有限个分量不为 $0$，可以尝试从这一点去证明上面的例子. 而且我们还可以从极限和余极限出发定义一般范畴上的积（对应直积）和余积（对应直和）.

To do list. 正向极限、逆极限、Yoneda 引理.

咕咕咕~