群同态的定义

同态是数学中一个重要的概念，其动机为保持运算的映射. 特别地，群同态表现为下面的形式：

Definition [同态的定义]. 如果 $(G,\cdot)$ 和 $(H,*)$ 是两个群，那么映射 $f:G\to H$ 被称为同态，如果 $f(a\cdot b)=f(a)*f(b)$ 对任意的 $a,b\in G$ 成立.

Examples [一些例子].

  • 对于线性空间 $V$ 和 $W$，它们在加法运算下构成一个群. 这个时候它们之间的线性映射就是这两个群的同态.
  • 考虑 $n$ 阶实矩阵的行列式 $\det:\mathsf{GL}_n(\mathbb R)\to\mathbb R^\times$，则由行列式的乘法性质知 $\det$ 是一个同态.

特别地，如果 $f$ 是一个双射，那么称 $f$ 是 $G$ 到 $H$ 的同构，如果存在这样的 $f$ 就称 $G$ 和 $H$ 是同构的，记作 $G\simeq H$. 同构的群性质几乎是一样的，它们甚至可以看作是同一个群.

Proposition [同态的简单性质]. 如果 $f:G\to H$ 是同态，则：

  • $f(e)=e'$，其中 $e'$ 是 $H$ 的单位元.
  • 对于任意 $a\in G$ 有 $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$.
  • 对于任意 $a\in G$ 和 $n\in\mathbb Z$ 有 $f(a^n)=f(a)^n$.

Proof.

  • 我们有 $e'f(e)=f(e)=f(e^2)=f(e)f(e)$，所以由消去律知 $f(e)=e'$.
  • 由于 $f(a^{-1})f(a)=f(a^{-1}a)=f(e)=e'=f(a)^{-1}f(a)$，由消去律知 $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$.
  • 归纳即可. $\Box$

生成子群

Definition [生成子群的定义]. 对于群 $G$ 的子集 $X\subseteq G$，考虑到一族子群的交也是子群，定义 $X$ 的生成子群 $\langle X\rangle$ 是所有包含 $X$ 的子群的交. 特别地，当 $X=\varnothing$ 时 $\langle X\rangle=\{e\}$.

Examples [一些例子].

  • 定义 $\mathsf S_n$ 的子集 $X=\{f\in\mathsf S_n\mid\exists i\neq j,f(i)=j,f(j)=i\text{, and }f(k)=k,\forall k\neq i,j\}$，即所有对换，则我们有 $\langle X\rangle=\mathsf S_n$.
  • 对于任意 $n\in\mathbb N_+$，都有 $\mathbb Z/n\mathbb Z=\langle\bar 1\rangle$.

Definition [词的定义]. 如果 $X$ 是群 $G$ 的非空子集，则定义形如 $$ w=x_1^{\epsilon_1}x_2^{\epsilon_2}\cdots x_n^{\epsilon_n}\in G\quad x_k\in X,\epsilon_k=\pm 1,\forall k=1,\cdots,n $$ 的元素为 $X$ 上的词.

Theorem [生成子群的等价形式]. 如果 $X$ 是群 $G$ 的非空子集，则 $\langle X\rangle$ 等于 $X$ 上所有的词构成的集合 $W$.

Proof. 对于 $X$ 上的词 $w=x_1^{\epsilon_1}\cdots x_n^{\epsilon_n}$ 和 $u=y_1^{\zeta_1}\cdots y_m^{\zeta_m}$，我们有： $$wu^{-1}=x_1^{\epsilon_1}\cdots x_n^{\epsilon_n}y_m^{-\zeta_m}\cdots y_1^{-\zeta_1}$$ 这也是一个 $X$ 上的词，所以由子群判别定理 $W\le G$ 且 $X\subseteq W$，由定义 $\langle X\rangle\subseteq W$. 反过来，由于子群对乘法和逆元的封闭性，包含 $X$ 的子群一定包含 $X$ 上的所有词，所以 $W\subseteq\langle X\rangle$，也就是 $\langle X\rangle=W$. $\Box$

正规子群和商群

现在考虑 $G$ 的子群 $H$，由 Lagrange 定理，其左陪集可以把 $G$ 划分. 那么对于两个左陪集 $aH$ 和 $bH$ 中的元素 $a_1,a_2\in aH$ 和 $b_1,b_2\in bH$，可不可以得到 $a_1b_1$ 和 $a_2b_2$ 属于同一个左陪集呢？答案是不一定，但是下面的结论给出了它的一个等价形式：

Proposition. 上面的命题成立当且仅当 $H$ 满足如下条件：对任意 $h\in H$ 和 $a\in G$，都有 $a^{-1}ha\in H$.

Proof. 左推右：考虑 $e,h\in H$ 和 $a\in aH$，则由假设可以得到 $a$ 和 $ha$ 属于同一个左陪集，而这个左陪集只能是 $aH$. 由 $ha\in aH$，不妨设令 $ha=ah'$，其中 $h'\in H$，则 $a^{-1}ha=h'\in H$.

右推左：令 $a_1=ah_1,a_2=ah_2$ 和 $b_1=bh_1',b_2=bh_2'$，则 $a_1b_1=ah_1bh_1'=ab(b^{-1}h_1b)h_1'$，同理 $a_2b_2=ab(b^{-1}h_2b)h_2'$. 由假设，$b^{-1}h_1b\in H$，因 $H$ 的封闭性有 $(b^{-1}h_1b)h_1'\in H$. 所以 $a_1b_1\in(ab)H$，同理 $a_2b_2\in(ab)H$. 证毕. $\Box$

我们称满足上面命题中条件的子群为正规子群，记作 $H\trianglelefteq G$.

对于 $G$ 的正规子群 $H$，由上面的讨论，我们可以在 $G$ 的左陪集上定义一个良好的乘法：$(aH)(bH)=(ab)H$. 这个时候 $G$ 所有的左陪集在这个乘法下构成一个群，定义其为商群 $G/H$.

Examples [例子].

  • 我们以前提到过 $\mathbb Z/n\mathbb Z$，这就是它的来源！
  • $\mathsf{SL}_n(\mathbb R)$ 是 $\mathsf{GL}_n(\mathbb R)$ 的正规子群，商群同构于 $\mathbb R^\times$.
  • $\mathsf A_n$ 是 $\mathsf S_n$ 的正规子群，商群同构于 ${\pm 1}$ 在乘法下构成的群.
  • 考虑 $\mathsf S_3$，则 ${\mathsf{id},f}$ 是 $\mathsf S_3$ 的子群但不是正规的. 其中 $f$ 将 $1$ 和 $2$ 对换.
  • 对于 $G$ 的正规子群 $H$，定义映射 $v:G\to G/H$，$v(g)=gH$，则 $v$ 是一个同态，称为商映射.

Proposition [正规子群的等价定义]. 如果 $H\leq G$，那么 $H$ 是 $G$ 的正规子群当且仅当 $gHg^{-1}=H$ 对任意 $g$ 成立，当且仅当对任意 $x,y\in G$，如果 $xy\in H$ 那么 $yx\in H$.

Proof. 如果 $gHg^{-1}=H$ 对任意 $g$ 成立，则 $H$ 显然是 $G$ 的正规子群. 反过来，如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则对于任意 $g\in G$，由定义知 $gHg^{-1}\subseteq H$，而且对任意 $h\in H$，我们有 $g^{-1}hg\in H$，从而 $h=g(g^{-1}hg)g^{-1}\in gHg^{-1}$，最后就会有 $H=gHg^{-1}$. 第二个当且仅当留给读者. $\Box$

Proposition [正规子群的基本性质].

  • 如果 $K\leq H\leq G$ 是子群链，而且 $K\trianglelefteq G$，则 $K\trianglelefteq H$.
  • 一族正规子群的交也是正规子群.

Proof. 证明不难. $\Box$

同态基本定理

Theorem [同态基本定理/第一同构定理]. 如果 $f:G\to H$ 是同态，定义以下两个集合（分别称为 $f$ 的核和 $f$ 的像）： $$ \begin{align*}\ker f&=\{a\in G\mid f(a)=e'\}\\ \mathrm{im}\ f&=\{f(a)\mid a\in G\}\end{align*} $$ 那么我们有 $\ker f\trianglelefteq G$，$\mathrm{im}\ f\le H$ 且 $G/\ker f\simeq\mathrm{im}\ f$.

Proof. 我们依次证明上面的三个事实.

首先需要证明 $\ker f$ 是一个群. 对任意 $k,l\in\ker f$，我们有 $f(kl^{-1})=f(k)f(l)^{-1}=e$，所以 $kl^{-1}\in\ker f$，接着使用子群判别定理即可. 然后我们证明 $\ker f$ 是正规子群. 对于任意 $k\in\ker f$ 和 $g\in G$，我们有 $f(gkg^{-1})=f(g)f(k)f(g^{-1})=f(g)f(g^{-1})=e'$. 所以 $gkg^{-1}\in H$，也就是 $\ker f\trianglelefteq G$.

对于任意 $x,y\in\mathrm{im}\ f$，令 $x=f(a)$ 和 $y=f(b)$，那么 $xy^{-1}=f(a)f(b)^{-1}=f(ab^{-1})\in\mathrm{im}\ f$，由子群判别定理知 $\mathrm{im}\ f\leq H$.

最后，定义 $\tilde f:G/\ker f\to\mathrm{im}\ f$ 为 $a\ker f\mapsto f(a)$. 首先这个映射的是良好定义的，即如果 $a\ker f=b\ker f$ 那么 $f(a)=f(b)$，这是显然的，因为 $a^{-1}b\in\ker f$. 然后它是一个同态，因为 $\tilde f(a\ker f)\tilde f(b\ker f)=f(a)f(b)=f(ab)=\tilde f((ab)\ker f)$. 最后它是一个双射. 因为如果 $\tilde f(a\ker f)=e'$，则 $f(a)=e'$，即 $a\in\ker f$，也就是 $a\ker f=\ker f$. 综上，$G/\ker f\simeq\mathrm{im}\ f$. $\Box$

所以我们还可以得到：一个同态是单的当且仅当其核等于 $\{e\}$. 为了方便，我们以后把平凡子群 $\{e\}$ 记作 $1$.

第二同构定理

Theorem [容斥原理]. 如果 $S$ 和 $T$ 是有限群 $G$ 的子群，定义 $ST={st\mid s\in S,t\in T}$，则 $|ST||S\cap T|=|S||T|$. 注意 $ST$ 不一定是一个群.

Proof. 考虑 $\varphi:S\times T\to ST$ 为 $(s,t)\mapsto st$，我们断言对任意 $x\in ST$ 都有 $|\varphi^{-1}(x)|=|S\cap T|$，从而命题成立. 实际上如果令 $x=st$，则 $\varphi^{-1}(x)=\{(sg,g^{-1}t)\mid g\in S\cap T\}$. 首先右式包含于左式，然后对于 $(a,b)\in\varphi^{-1}(x)$，我们有 $ab=st$，从而 $s^{-1}a=tb^{-1}\in S\cap T$. 令 $g=s^{-1}a=tb^{-1}$ 就有 $(sg,g^{-1}t)=(a,b)$. $\Box$

但是当 $T$ 是正规子群时，情况变得特殊起来：

Proposition. 如果 $T$ 是 $G$ 的正规子群，$S$ 是 $G$ 的子群，那么 $ST$ 和 $TS$ 都是群. 所以由生成群的两个定义容易得到 $ST=TS=\langle S\cup T\rangle$.

Proof. 对于 $s_1t_1,s_2t_2\in ST$，我们有 $(s_1t_1)(s_2t_2)^{-1}=s_1s_2^{-1}s_2(t_1t_2^{-1})s_2^{-1}$. 由于 $T$ 是正规子群，所以 $s_2^{-1}(t_1t_2^{-1})s_2\in T$，也就是 $(s_1t_1)(s_2t_2)^{-1}\in ST$. 类似可以证明 $TS$ 也是群. $\Box$

Remark. 感兴趣的读者可以尝试证明：若 $S,T$ 是 $G$ 的子群，则 $ST$ 是 $G$ 的子群当且仅当 $ST=TS$.

下面的第二同构定理就可以看作是容斥原理的推广：

Theorem [第二同构定理]. 如果 $T$ 是 $G$ 的正规子群，$S$ 是 $G$ 的子群，那么 $T\cap S$ 是 $S$ 的正规子群，而且 $S/(T\cap S)\simeq ST/T$.

Proof. 令 $v:G\to G/T$ 是商映射，则其为同态，所以 $v$ 的限制 $v|_S:S\to G/T$ 也是一个同态. 不难验证 $\ker v|_S=S\cap T$ 且 $\mathrm{im}\ v|_S=ST/T$，所以由第一同构定理，$S/(T\cap S)\simeq ST/T$. $\Box$

第三同构定理和对应定理

第三同构定理是对陪集“合并”的一种描述：

Theorem [第三同构定理]. 如果 $K\le H\le G$ 而且 $K$ 和 $H$ 都是 $G$ 的正规子群，则 $H/K$ 是 $G/K$ 的正规子群，而且 $(G/K)/(H/K)\simeq G/H$.

Proof. 定义映射 $f:G/K\to G/H$ 为 $aK\mapsto aH$，这个映射是良好定义的，因为如果 $aK=bK$ 就有 $a^{-1}b\in K\subseteq H$，也就是 $aH=bH$，而且容易验证这个同态的核是 $H/K$. 把最后的事情交给第一同构定理，我们得到了 $(G/K)/(H/K)\simeq G/H$. $\Box$

Remark. 同样方法可以证明对于子群链 $K\le H\le G$ 有 $[G:H][H:K]=[G:K]$.

而且我们有推论：

Theorem [对应定理]. 如果 $K$ 是 $G$ 的正规子群，则对于 $G/K$ 的所有子群，都存在 $G$ 的子群 $H$ 使得 $K\le H$ 且 $H/K$ 就是那个子群. 更进一步，我们有：

  • $H\leftrightarrow H/K$ 是所有包含 $K$ 的 $G$ 子群和 $G/K$ 所有子群的一一对应.
  • $H_1\le H_2$ 当且仅当 $H_1/K\le H_2/K$，且此时 $[H_2:H_1]=[H_2/K:H_1/K]$.
  • $H_1\trianglelefteq H_2$ 当且仅当 $H_1/K\trianglelefteq H_2/K$，且此时 $H_2/H_1\simeq(H_2/K)/(H_1/K)$.

Proof. 验证即可，留给读者. $\Box$

留给读者的习题

Problem 1. 如果 $H$ 是 $G$ 的子群而且 $[G:H]=2$，证明 $H$ 是 $G$ 的正规子群.

Definition [导群的定义]. 如果 $G$ 是一个群，对于 $a,b\in G$ 定义换位子 $[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$. 令 $X=\{[a,b]\mid a,b\in G\}$ 为所有的换位子，定义 $G$ 的导群或是换位子群 $G'=[G,G]=\langle X\rangle$.

Problem 2.

  1. 证明：$[a,b]^{-1}=[b,a]$ 且 $g[a,b]g^{-1}=[gag^{-1},gbg^{-1}]$.
  2. 证明：$G'$ 是 $G$ 的正规子群，且 $G/G'$ 是交换群.
  3. 证明：如果 $H$ 是 $G$ 的正规子群，则 $G/H$ 是交换群当且仅当 $G'\subseteq H$.

Problem 3. 定义“长换位子”：$[a_1,a_2,\cdots,a_n]=a_1\cdots a_na_1^{-1}\cdots a_n^{-1}$. 证明：所有“长换位子”构成的集合等于 $G'$.

Definition [嵌入的定义]. 如果 $G,H$ 是群，且 $G$ 有子群同构于 $H$，则说 $H$ 可以被嵌入 $G$. 所以 $H$ 可以被嵌入 $G$ 当且仅当存在 $H\to G$ 的单同态.

Problem 4.

  1. 证明：$\mathsf S_n$ 可以被嵌入 $\mathsf A_{n+2}$.
  2. 证明：任意群 $G$ 都可以被嵌入 $\mathsf{Sym}\ G$. (此为 Cayley 定理)
  3. 证明：任意有限群 $G$ 都可以被嵌入某个 $\mathsf A_n$.