群作用的定义

Definition [群对集合的作用]. 对于群 $G$ 和集合 $X$，类似线性空间的数乘，定义 $G$ 与 $X$ 之间元素的运算 $\circ:G\times X\to X$，如果这个运算满足：

  1. 对任意 $x\in X$ 都有 $e\circ x=x$，其中 $e$ 是 $G$ 的单位元.
  2. 对任意 $g,h\in G$ 和 $x\in X$ 都有 $g\circ(h\circ x)=(gh)\circ x$.

则称 $G$ 作用在 $X$ 上.

Example [一些例子].

  • 对于群 $G$ 和任意集合 $X$，定义 $g\circ x=x$ 对任意 $g\in G$ 和 $x\in X$ 成立，则这是一个作用.
  • 令集合 $X=G$，定义作用 $g\circ x=gx$，其中右式为群中自带的乘法，则这是一个作用，称为左正则作用.
  • 类似上一个例子考虑 $g\circ x=xg^{-1}$，则这也是一个作用，称为右正则作用.
  • 令集合 $X=G$，定义作用 $g\circ x=gxg^{-1}$，这是一个作用，被称为共轭作用. 以后我们在运算为乘法的群将 $gxg^{-1}$ 写作 $x^g$，在运算为加法的群中将 $g+x-g$ 写作 $gx$.
  • 对于群 $G$，定义 $G$ 的自同构群 $\mathsf{Aut}\ G$ 为所有 $G$ 的自同构，即 $G\to G$ 的同构映射构成的群（从而是 $\mathsf{Sym}\ G$ 的子群），则 $\mathsf{Aut}\ G$ 对 $G$ 有作用：$\sigma\circ g=\sigma(g)$.

如果 $G$ 在 $X$ 上有一个作用，对任意的 $g\in G$ 定义映射 $\psi_g:X\to X$ 为 $\psi_g(x)=g\circ x$，则我们有：

Proposition [置换表示]. $\psi_g\in\mathsf{Sym}\ X$，且 $\psi_*:g\mapsto\psi_g$ 是一个 $G\to\mathsf{Sym}\ X$ 的同态. 这个同态被称为置换表示.

Proof. 先证明 $\psi_g$ 又是单射又是满射. 一方面如果 $\psi_g(x)=\psi_g(y)$，那么： $$x=(g^{-1}g)\circ x=g^{-1}\circ(g\circ x)=g^{-1}\circ(g\circ y)=(g^{-1}g)\circ y=y$$ 另一方面，对于任意 $x\in X$，令 $y=g^{-1}\circ x$，则 $\psi_g(y)=g\circ(g^{-1}\circ x)=(gg^{-1})\circ x=x$.

最后证明 $\psi_*$ 是一个同态，即对任意 $g,h\in G$ 都有 $\psi_g\circ\psi_h=\psi_{gh}$. 这是显然的，因为对任意 $x\in X$ 都有 $g\circ(h\circ x)=(gh)\circ x$. $\Box$

所有我们可以通过同态基本定理得到：

Corollary [置换表示的核]. 置换表示的核 $\ker\psi_*$ 是所有满足 $g\circ x=x$ 对任意 $x$ 成立的 $g$ 构成的集合，从而是 $G$ 的正规子群（这个以后会经常用到！）

特别地，取 $G$ 对自己的左作用，则 $\psi_*$ 此时是单同态，这给出了 $G\to\mathsf{Sym}\ G$ 的一个嵌入，该结论被称为 Cayley 定理 (即上一篇文章习题所述). 我们以后把 $\psi_*$ 是单同态的作用称为忠实作用.

轨道和稳定子

Definition [轨道和稳定子]. 如果 $G$ 作用在 $X$ 上，那么对于 $X$ 中的任意元素 $x$，定义 $x$ 的轨道和稳定子： $$ \begin{align*}\mathsf{Orb}\ x=\mathcal O(x)=Gx&=\{g\circ x\mid g\in G\}\\ \mathsf{Stab}\ x=G_x&=\{g\in G\mid g\circ x=x\}\end{align*} $$ 注意 $x$ 的轨道是 $X$ 的子集，$x$ 的稳定子是 $G$ 的子集.

注意到轨道具有下面的性质：

Proposition. 如果 $y\in\mathcal O(x)$，那么 $\mathcal O(x)=\mathcal O(y)$. 所以，两个轨道要么不相交，要么相等.

Proof. 令 $y=g\circ x$，则两边使用 $g^{-1}$ 作用得到 $x=g^{-1}\circ y$. 所以对任意 $h\circ x\in\mathcal O(x)$，我们有 $h\circ x=h\circ(g^{-1}\circ y)=(hg^{-1})\circ y\in\mathcal O(y)$. 反过来，对任意 $h\circ y\in\mathcal O(y)$，我们有 $h\circ y=h\circ(g\circ x)=(hg)\circ x\in\mathcal O(x)$. 综上，$\mathcal O(x)=\mathcal O(y)$. $\Box$

又因为 $x=e\circ x\in\mathcal O(x)$，所以我们可以得到一个与 Lagrange 定理类似的结论：

Theorem [轨道划分]. 所有的轨道给出了 $X$ 的一个划分.

下面的定理描述了轨道和稳定子的联系.

Theorem [轨道-稳定子定理]. 如果 $G$ 作用在 $X$ 上，那么对任意 $x\in X$ 都有 $G_x\le G$，且 $|\mathcal O(x)|=[G:G_x]$ 如果等式的某一边是有限数.

Proof. 我们先证明 $G_x$ 是 $G$ 的子群. 对于任意 $g,h\in G_x$，我们有 $(gh^{-1})\circ x=g\circ(h^{-1}\circ(hx))=g\circ x=x$，所以由子群判别定理 $G_x\le G$. 对于第二个命题，我们只需要证明存在 $G_x$ 的所有左陪集到 $\mathcal O(x)$ 的双射即可. 考虑映射 $aG_x\mapsto a\circ x$，我们接下来证明其满足条件.

首先它是良好定义的，因为如果 $aG_x=bG_x$，那么存在 $g\in G_x$ 使得 $a=bg$，也就是 $a\circ x=b\circ(g\circ x)=b\circ x$. 其次它是一个单射，因为如果 $a\circ x=b\circ x$，那么两边使用 $a^{-1}$ 作用可以得到 $x=(a^{-1}b)\circ x$，从而 $a^{-1}b\in G_x$，也就是 $aG_x=bG_x$. 最后它显然是一个满射，至此命题得证. $\Box$

Example [空间体的旋转群].

想象一个正方体，问有多少种不同的空间旋转，使这个正方体不变？比如绕纵轴旋转 $\pi/2$ 就可以保持这个正方体不变，但是 $\pi/4$ 就不行.

考虑所有使得这个正方体不变的旋转操作的集合 $G$，它在复合运算下构成一个群（这就是正方体的旋转群），而且其对这个正方体有一个作用. 对于这个正方体的一个面 $A$，其轨道为 $\mathcal O(A)$，即它可以转到的所有所有其它面 ($A$ 可以被转到每个其它面，所以 $|\mathcal O(A)|=6$)；其稳定子为 $G_A$，也就是所有使这个面不变的旋转操作 (只有 $4$ 个，不变、旋转 $\pm\pi/2$ 和旋转 $\pi$).

所以根据轨道-稳定子定理，$|G|=|\mathcal O(A)||G_A|=6\times 4=24$. 这个问题的答案也就是 $24$. 我们也可以对正 $4$ 面体，$12$ 面体等进行同样的操作得到类似的结论.

Cauchy 定理

我们知道：如果有限群 $G$ 中有 $n$ 阶元 $a$，则 $|\langle a\rangle|=n$，所以由 Lagrange 定理 $n$ 整除 $|G|$. 那反过来，如果 $n$ 是 $|G|$ 的因子，$G$ 中的 $n$ 阶元又会呈什么性态呢？下面的 Cauchy 定理描述了 $n$ 为素数时的特殊情况.

Theorem [Cauchy 定理]. 如果有限群 $G$ 和素数 $p$ 满足 $p\mid |G|$，则存在 $a\in G$ 使得 $\mathsf{ord}\ a=p$.

Proof. 定义集合： $$X=\{(g_1,g_2,\cdots,g_p)\mid g_k\in G\text{ and }g_1g_2\cdots g_p=1\}$$ 那么对于 $(g_1,\cdots,g_p)\in X$，它的轮换 $(g_2,g_3,\cdots,g_p,g_1)$ 和 $(g_3,g_4,\cdots,g_p,g_1,g_2)$ 等都属于 $X$. 定义 $\mathbb Z/p\mathbb Z$ 对 $X$ 的作用：$\bar a\circ(g_1,\cdots,g_p)$ 为将其轮换 $a$ 次（因为轮换 $a+pk$ 次都是一样的）.

考虑轨道稳定子定理，每个 $X$ 上的轨道 $\mathcal O$ 的大小 $|\mathcal O|$ 都等于某个子群的指数，从而整除 $|\mathbb Z/p\mathbb Z|=p$，那也只可能是 $p$ 或者 $1$. 注意到当 $(g_1,\cdots,g_p)$ 的轨道大小为 $1$ 时，$\bar 1\circ(g_1,\cdots,g_p)=(g_1,\cdots,g_p)$，从而 $g_1=\cdots=g_p$，而且 $g_1^p=1$. 所以只要找到除了 ${(e,\cdots,e)}$ 以外长度为一的轨道就可以了.

注意到 $X$ 中元素的前 $p-1$ 个分量可以任意选取，最后一个分量可以被前 $p-1$ 个分量唯一确定，所以由乘法原理，$|X|=|G|^{p-1}$. 考虑轨道划分的求和等式 $|X|=\sum_i|\mathcal O_i|$，其中 ${\mathcal O_i}$ 是所有不同轨道，则两边 $\mathrm{mod}\ p$ 得到 $0\equiv\sum_i|\mathcal O_i|\pmod p$. 令有 $k$ 个长度为 $1$ 的轨道，则剩下的轨道长度都为 $p$，在取同余的过程中都消失了，所以化简得到 $k$ 是 $p$ 的倍数.

如上所述，共有 $k$ 个长度为 $1$ 的轨道，所以有 $k\ge 2$ 个元素满足 $g^k=1$，其中必有不等于 $e$ 的：这个时候就我们找到 $p$ 阶元了. $\Box$

从上面的证明还可以得到，满足 $x^p=e$ 的元素个数是 $p$ 的倍数. 实际上，我们有如下命题：

Theorem [Frobenius 定理]. 如果正整数 $n$ 是 $|G|$ 的因子，则 $G$ 中满足 $x^n=e$ 的元素个数是 $n$ 的倍数.

Burnside 定理

下面介绍 Burnside 定理，它联系了划分的轨道个数和所谓“不动点”的平均数：

Theorem [Burnside 定理]. 如果有有限群 $G$ 对 $X$ 的作用，对于 $g\in G$，定义 $g$ 的不动点： $$ \mathsf{Fix}\ g=X^g=\{x\in X\mid g\circ x=x\} $$ (注意区分稳定子和不动点，一个是 $G$ 的子集一个是 $X$ 的子集.) 令这个作用的轨道个数 $|\{\mathcal O_i\}|=r$，则： $$ r=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\mathsf{Fix}\ g| $$

Proof. 考虑 $G\times X$ 的子集 $A=\{(g,x)\in G\times X\mid g\circ x=x\}$，我们可以对 $A$ 进行计数，分别通过两个方向求和： $$|A|=\sum_{g\in G}|X^g|=\sum_{x\in X}|G_x|$$ 所以我们现在只需要证明： $$r=\dfrac{1}{|G|}\sum_{x\in X}|G_x|=\sum_{x\in X}\dfrac{1}{|\mathcal O(x)|}=\sum_i\sum_{x\in\mathcal O_i}\dfrac{1}{|\mathcal O(x)|}$$ 其中倒数第二个等号使用了轨道-稳定子定理，最后一个等号用到了轨道划分. 对于每一个轨道 $\mathcal O_i$，它对右式中求和的贡献是 $|\mathcal O_i|/|\mathcal O_i|=1$. 由于所有轨道 $\{\mathcal O_i\}$ 可以划分 $X$，所以求和就为轨道个数 $r$. $\Box$

Example [一类计数问题].

这里以一个问题为例：将一个六边形的顶点染成红、绿、蓝三种颜色，如果两个染色方案可以通过旋转六边形得到则说它们等价. 问可以有多少种不等价的方案？

首先令 $X$ 为所有可能的染色方案构成的集合（不考虑本质相同），群 $G=\mathsf C_6$ 为这个六边形所有的旋转，则 $G$ 可以作用在 $X$ 上. 注意到一个方案的轨道是所有与它等价的方案，所以只需要求出不同轨道的个数 $r$ 就可以了. 考虑 Burnside 定理，我们知道 $r$ 等于 $G$ 中所有元素不动点的平均数，下面可以对 $G$ 中的元素分类讨论：

  • 对于 $G$ 中单位元，$X$ 中所有元素都是其不动点，所以其大小为 $3^6=729$.
  • 对于 $G$ 中顺时针和逆时针旋转 $\pi/3$ 的操作，所有顶点颜色都相同的方案才可以成为其不动点，大小为 $3$.
  • 对于 $G$ 中顺时针和逆时针旋转 $2\pi/3$ 的操作，两个内嵌三角形顶点的颜色对应相同才可以，大小为 $9$.
  • 对于 $G$ 中旋转 $\pi$ 的操作，需要对边顶点的颜色对应相同，所以大小为 $27$.

综上，答案为 $r=(729+2\times 3+2\times 9+27)/6=130$.