群的定义

Definition [群的定义]. 如果一个集合 $G$ 和二元运算 $\cdot:G\times G\to G$ 满足：

  1. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$，即结合律；
  2. 存在唯一的 $e\in G$ 满足对任意 $a\in G$ 都有 $e\cdot a=a\cdot e=a$，即存在单位元；
  3. 对于任意的 $a\in G$，存在唯一的 $b\in G$ 满足 $a\cdot b=b\cdot a=e$，即存在逆元. 我们通常将 $a$ 的逆元 $b$ 记为 $a^{-1}$.

那么就称 $(G,\cdot)$ 是一个群. 有的时候我们把运算符省略，将 $a\cdot b$ 记为 $ab$，并直接称 $G$ 是一个群.

如果在一个群 $(G,\cdot)$ 中还有第 4 条性质 $a\cdot b=b\cdot a$ 对任意 $a,b\in G$ 成立，则称 $G$ 是交换群或者 Abel 群.

如果这个结构只满足 1 则称 $(G,\cdot)$ 是半群，满足 1, 2 则称 $(G,\cdot)$ 是幺半群.

Remark. 注意 “$G$ 上的二元运算” 蕴含了封闭律，即对于任意 $a,b\in G$ 都有 $a\cdot b\in G$. 群定义中的几条要求可以理解为数系运算的抽象. 比如整数集 $\mathbb Z$ 上的加法 $+$ 就满足定义中的三条性质以及附加的一条性质，所以当群运算符为加法时（也就是这个群是加法群），我们习惯将 $a^{-1}$ 记为 $-a$.

乘法群的单位元也写作 $1$，加法群的单位元也写作 $0$.

一些例子

下面给出了一些群的例子：

  • 所有的整数 $\mathbb Z$ 在加法运算下构成一个群，即 $(\mathbb Z,+)$ 是群.
  • 所有非零实数 $\mathbb R^{\times}=\mathbb R\setminus\{0\}$ 在乘法运算下也构成一个群，即 $(\mathbb R^{\times},\cdot)$ 是群.
  • 对于有限集 $X$，其到自身的所有双射在复合运算 $\circ$ 下构成一个群，我们将其称为 $X$ 的对称群，记作 $\mathsf{Sym}\ X$. 特别地，当 $X=\{1,2,\cdots,n\}$ 时我们记其对称群为 $\mathsf S_n$.
  • 对于模数 $n$，考虑其所有同余类，它们在加法下构成了一个群，记作 $\mathbb Z/n\mathbb Z$. 如果记号不冲突，可以将其记为 $\mathbb Z_n$.
  • 对于模数 $n$，再考虑其所有与 $n$ 互素的数对应的同余类，它们在乘法下构成了一个群，记作 $(\mathbb Z/n\mathbb Z)^{\times}$. 如果记号不冲突，可以将其记为 $\mathbb Z_n^\times$.
  • 对于一个几何物体，所有能使其与原先重合的空间变换构成了一个群，称为这个几何体的对称群. 比如正三角形有 $3$ 种不同的旋转和 $3$ 种不同的对称，共六种空间变换可以使其与原先重合. 记正 $n$ 边形的对称群为 $\mathsf D_n$，它共有 $2n$ 个元素.
  • 所有 $n$ 阶可逆实矩阵在乘法运算下构成一个群，记作 $\mathsf{GL}_n(\mathbb R)$.
  • 如果 $(G,\cdot)$ 和 $(H,\circ)$ 是两个群，在 Descartes 积 $G\times H$ 上定义运算 $(g_1,h_1)*(g_2,h_2)=(g_1\cdot g_2,h_1\circ h_2)$，则 $G\times H$ 在运算 $*$ 下构成了一个群，这个群称为 $G$ 与 $H$ 的直积群.

还有不是群的例子：

  • 所有的自然数 $\mathbb N$ 在加法运算下不构成一个群，因为不存在 $a\in\mathbb N$ 使 $1+a=0$，也就是有元素没有逆元，其实 $(\mathbb N,+)$ 构成幺半群.
  • 所有的实数在乘法运算下不构成一个群，因为不存在 $a\in\mathbb R$ 使 $0\cdot a=1$.
  • 如果集合 $X$ 有至少两个元素，则 $X$ 到自己所有的映射在复合运算下不构成一个群，因为映射不一定可逆.
  • 对于模数 $n\ge 2$ 考虑其完全剩余系，它们在模 $n$ 乘法下不构成一个群，因为 $0$ 没有逆元.
  • 所有 $n$ 阶实矩阵在乘法运算下不构成一个群，因为非满秩矩阵不可逆.

可以尝试逐个验证上面所给的例子.

群的基本性质

Proposition [群中运算的基本性质].

  • 如果 $G$ 是一个半群，那么对于 $g_1,\cdots,g_m\in G$，乘积 $g_1g_2\cdots g_m$ 任意的添括号方式都不影响结果.
  • 如果 $G$ 是一个群，那么 $ab=ac$ 可以推出 $b=c$.
  • 如果 $G$ 是一个群，那么对于其中的元素 $g_1,\cdots,g_m$ 有 $(g_1g_2\cdots g_m)^{-1}=g_m^{-1}g_{m-1}^{-1}\cdots g_1^{-1}$.

对于一个群 $G$，定义 $a\in G$ 的 $n\in\mathbb N_+$ 次方为 $a^n=\underbrace{aa\cdots a}_{n\text{ times}}$，并补充定义 $a^0=e$ 与 $a^{-n}=(a^n)^{-1}$. 那么有：

Proposition [指数的加法和乘法]. 对于任意 $n,m\in\mathbb Z$，我们有 $a^na^m=a^{n+m}$ 与 $a^{nm}=(a^n)^m$.

Sketch of Proof.

  1. 这是结合律的直接推论.
  2. $b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}(ac)=(a^{-1}a)c=c$.
  3. 直接相乘验证即可.
  4. 先对 $n,m\in\mathbb N_+$ 作归纳证明，然后推广到 $\mathbb Z$. $\Box$

Remark. 对于一般的群，不一定有 $(ab)^n=a^nb^n$，因为乘法不一定交换. 加法群的“指数运算”其实是一个整数对一个元素的乘法，写作 $na$，从而对不交换的加法群也不会有 $n(a+b)=na+nb$.

群的等价定义

Proposition [群的单边定义]. 如果半群 $G$ 满足：

  • $G$ 中存在元素 $e$，使得 $ea=a$ 对任意 $a$ 成立.（满足这个性质的 $e$ 不一定唯一）
  • 存在某个满足上面性质的 $e$，使得对任意元素 $a\in G$，存在 $a^{-1}$ 使得 $a^{-1}a=e$.（这里的 $a^{-1}$ 也不一定唯一）

那么 $G$ 是群.

Proof. 我们分四步证明.

第一步. 先证明 $aa^{-1}$ 满足第一条性质. 对于 $a^{-1}$ 的任意可能性，由第二条性质，任取 $b\in G$ 满足 $ba^{-1}$ 满足第一条性质，则对任意 $c\in G$ 有 $aa^{-1}c=(ba^{-1})(aa^{-1}c)=b(a^{-1}a)a^{-1}c=(ba^{-1})c=c$.

第二步. 再证明对于第二条性质中的某个 $e$，有 $ae=a$ 对任意 $a$ 成立. 令 $e=a^{-1}a$，则由上一步可知 $ae=a(a^{-1}a)=(aa^{-1})a=a$.

第三步. 然后证明满足第一条性质的 $e$ 唯一. 取定第二条性质中的某个 $e$，如果 $e'$ 也满足第一条性质，由上一步可知 $e'=e'e=e$.

第四步. 最后证明满足第二条性质的 $a^{-1}$ 唯一. 对于任意元素 $a$，如果 $b,c$ 都满足第二条性质，那么 $b=be=b(ac)=(ba)c=c$. $\Box$

Proposition [有限群的消去定义]. 如果有限半群 $G$ 满足：

  • 如果 $a,b,c\in G$ 且 $ac=bc$，则 $a=b$；
  • 如果 $a,b,c\in G$ 且 $ab=ac$，则 $b=c$.

那么 $G$ 是群.

Proof. 令 $G=\{a_1,\cdots,a_n\}$，则由上述两个性质可以得到对任意 $a_i\in G$ 都有

$$\{a_ia_1,\cdots,a_ia_n\}=G=\{a_1a_i,\cdots,a_na_i\}$$

取定 $a_i$，则存在 $e$ 使得 $ea_i=a_i$. 又对任意 $a_k\in G$ 存在 $a_j\in G$ 使得 $a_k=a_ia_j$，故 $ea_k=ea_ia_j=(ea_i)a_j=a_k$. 所以存在 $e$ 满足上题条件 1. 又对任意 $a\in G$ 存在 $b$ 使得 $e=ba$，由上题证毕. $\Box$

留给读者的练习

Problem 1. 已知对于群 $G$ 中的每个元素 $a$ 都有 $a^2=e$. 证明：$G$ 是 Abel 群.

Problem 2. 已知 $a_1,a_2,b_1,b_2$ 都是群 $G$ 中的元素，满足 $a_1b_1=b_1a_1=a_2b_2=b_2a_2$，且 $a_1^3=a_2^3=b_1^5=b_2^5=e$. 证明：$a_1=a_2$ 且 $b_1=b_2$.

Problem 3. 如果半群 $G$ 满足：对任意的 $a,b\in G$，存在 $x,y\in G$ 使得 $ax=b$ 且 $ya=b$，证明 $G$ 是群.