免责声明：本文的讨论基于特征为 $0$ 的代数闭域.

Definition [约化 Lie 代数]. 如果 Lie 代数 $\mathfrak g$ 满足 $\mathsf{Rad}\ \mathfrak g=\mathsf C(\mathfrak g)$，则称 $\mathfrak g$ 是约化的.

Proposition. 如果 $\mathfrak g$ 是约化 Lie 代数，则 $[\mathfrak g,\mathfrak g]$ 半单且 $\mathfrak g=\mathsf C(\mathfrak g)\oplus[\mathfrak g,\mathfrak g]$.

Proof. 由于 $\mathrm{ad}\ \mathfrak g\simeq\mathfrak g/\mathsf C(\mathfrak g)=\mathfrak g/\mathsf{Rad}\ \mathfrak g$ 是半单 Lie 代数，而且 $\mathfrak g$ 可以看作 $\mathrm{ad}\ \mathfrak g$ 的表示，也就是其伴随表示，根据 Weyl 定理可知其完全可约.

由于 $[\mathfrak g,\mathfrak g]$ 是 $\mathfrak g$ 的理想，所以其可以看作一个子表示，令其补表示为 $W$，则由定义知 $[\mathfrak g,W]\subseteq W$. 注意到 $[\mathfrak g,W]\subseteq[\mathfrak g,\mathfrak g]$，所以由 $[\mathfrak g,\mathfrak g]\cap W=0$ 知 $[\mathfrak g,W]=0$，从而 $W\subseteq\mathsf C(\mathfrak g)$，也就是 $\mathsf C(\mathfrak g)+[\mathfrak g,\mathfrak g]=\mathfrak g$.

类似地，令 $U$ 是 $\mathsf C(\mathfrak g)\cap[\mathfrak g,\mathfrak g]$ 的补表示，注意到 $[\mathfrak g,\mathfrak g]=[\mathfrak g,[\mathfrak g,\mathfrak g]\cap\mathsf C(\mathfrak g)+U]$，前半部分在对易中消失了，所以 $[\mathfrak g,\mathfrak g]=[\mathfrak g,U]\subseteq U$. 这也就说明 $$\begin{align*}\mathsf C(\mathfrak g)\cap[\mathfrak g,\mathfrak g]&=[\mathfrak g,\mathfrak g]\cap\mathsf C(\mathfrak g)\cap[\mathfrak g,\mathfrak g]\\&\subseteq U\cap\mathsf C(\mathfrak g)\cap[\mathfrak g,\mathfrak g]=0\end{align*}$$ 所以 $\mathfrak g=\mathsf C(\mathfrak g)\oplus[\mathfrak g,\mathfrak g]$，证毕. $\Box$

注意到在上面的证明中，后半部分只用到了 $\mathfrak g$ 伴随表示的完全可约性，所以我们有四个等价条件：

Theorem. 以下四个关于 Lie 代数 $\mathfrak g$ 的条件等价.

  1. $\mathfrak g$ 是约化 Lie 代数，也就是 $\mathsf{Rad}\ \mathfrak g=\mathsf C(\mathfrak g)$.
  2. $\mathfrak g$ 的伴随表示完全可约.
  3. $[\mathfrak g,\mathfrak g]$ 半单且 $\mathfrak g=\mathsf C(\mathfrak g)\oplus[\mathfrak g,\mathfrak g]$.
  4. $\mathfrak g$ 同构于一个交换 Lie 代数与一个半单 Lie 代数的直和.

Proof. 一推二和二推三已经证明，三推四是显然的，现在只需要证明四推一.

令 $\mathfrak g=\mathfrak a\oplus\mathfrak s$ 是理想直和，则 $\mathfrak a=\mathsf C(\mathfrak g)$. 如果 $\mathsf{Rad}\ \mathfrak g\neq\mathsf C(\mathfrak g)$，那只能是左包含右. 由直和可知 $\mathsf{Rad}\ \mathfrak g\cap\mathfrak s\ne 0$，而这是 $\mathfrak s$ 的可解子理想，矛盾. $\Box$

很多地方说使用约化 Lie 代数可以证明 $\mathfrak{sl},\mathfrak{so},\mathfrak{sp}$ 都是半单的，但是我没想到怎么做……